Допустим у нас есть произвольный тип записи (Post Types) Товары.
Товары наследуем от таксономии Разделы (Taxonomies).
А разделы от таксономии (Taxonomies) категории (хотя это уже не важно).

Как же нам получить название и айди таксономии на странице товара.
Рассмортим на примере кода.
Основная таксономия у нас catalogs (в ней мы создаем наши категории и разделы).

Код:

// получаем информацию о всех таксономиях связанных с записью
$cat = get_the_terms($post->ID, 'catalogs');

// переберем все привязанные таксономии
foreach ($cat as $cat_value){
    // айди таксономии
    $cat_id = $cat_value->term_id;
    // имя таксономии
    $cat_name = $cat_value->name;
    // ярлык таксономии
    $cat_slug = $cat_value->slug;
    // родитель таксономии
    $cat_parent = $cat_value->parent;
    // основная таксономия
    $cat_taxonomy = $cat_value->taxonomy
}