Рассмотрим на примере формы подписки на рассылку.
На страницу отправки добавляем скрипт.

#addEMailInfo — это наш input
#addMailto — кнопка подписаться
#addEMailSuccess — окно с текстом успешной подписки
#addEMailFalse — окно с текстом неудачного запроса

Код:

<script>
	$("#addMailto").on("click", function(e){
		e.preventDefault();
		var addEMailInfo = $('#addEMailInfo').val();
		var data = { 'action':'siteWideMessage', 'more':'values', 'mailadd':addEMailInfo };
		$.post('http://sitename.ru/wp-admin/admin-ajax.php', data, function(response) {
			if(response == "success"){
				$('#addEMailSuccess').show(500);
				setTimeout(function(){$('#addEMailSuccess').hide(500)}, 2000);
			}else{
				console.log(response);
				$('#addEMailFalse').show(500);
				setTimeout(function(){$('#addEMailFalse').hide(500)}, 2000);
			}
		});
	});
</script>

далее в файле function.php обрабатываем наш запрос

Код:

add_action( 'wp_ajax_siteWideMessage', 'wpse_sendmail' );
add_action( 'wp_ajax_nopriv_siteWideMessage', 'wpse_sendmail' );

function wpse_sendmail()
{
    global $wpdb;
    $mailadd = htmlspecialchars($_POST['mailadd']);
	
    if (filter_var($mailadd, FILTER_VALIDATE_EMAIL)) {
        echo 'succes';
    } else {
        echo "ошибка валидации емаил";
    }
    die();
}

siteWideMessage — это наш action и вы его можете переименовать под себя